高数。级数。第五题怎么求？
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解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)[n/(n+1)]^n=1/e，∴收敛半径R=1/ρ=e。
又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨x丨/R<1、且x≥0，∴0≤x<e。
而，当x=e时，幂级数转化成∑(n!)(e/n)^n，由斯特林公式【lim(n→∞)n!=lim(n→∞)√(2nπ)(n/e)^n】，有∑(n!)(e/n)^n~√(2nπ)→∞，发散。
∴0≤x<e时，∑(n!)(x/n)^n收敛。供参考。
又，lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨x丨/R<1、且x≥0，∴0≤x<e。
而，当x=e时，幂级数转化成∑(n!)(e/n)^n，由斯特林公式【lim(n→∞)n!=lim(n→∞)√(2nπ)(n/e)^n】，有∑(n!)(e/n)^n~√(2nπ)→∞，发散。
∴0≤x<e时，∑(n!)(x/n)^n收敛。供参考。
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