Question

微分方程求解，谢谢大神！

Answer 1

dx/dy=1/y'............1
d^2x/dy^2=d(1/y')/dy=d(1/y')/dx * dx/dy=-y''/y'^2 * 1/y'
d^2x/dy^2=-y''/y'^3........2
将1，2式代入原方程：
-y''/y'^3+(y+sinx)(1/y')^3=0
同*y'^3
-y''+y+sinx=0
y''-y=sinx
齐次方程y''-y=0的特征方程：r^2-1=0 r=土1
y''-y=0的通解为：y=c1e^(-x)+c2e^x
sinx * e^(0*x) 中入=0 不是特征方程的解。
设原方程一个特解u=k1sinx+k2cosx
u'=k1cosx-k2sinx, u"=-k1sinx-k2cosx
代入原方程，-k1sinx-k2cosx-k1sinx-k2cosx=sinx
(-2k2-1)sinx-2k2cosx=0
-2k1-1=0, -2k2=0, 得k1=-1/2,k2=0
这特解是u=-(1/2)sinx
原方程的通解是y=C1e^x+C2e^(-x)-(1/2)sinx.........4
又x=0时，y=0 , y'=3/2代入上式：
0=c1+c2.........5
再将4式求导数：y'=c1e^x-c2e^(-x)-1/2cosx 代入x=0时，y=0 , y'=3/2;得：
3/2=c1-c2-1/2
c1-c2=2.........6
c1=3/4 c2=-3/4
特解为：y=3/4e^x-3/4e^(-x)-1/2sinx