Question

线性代数题

Answer 1

|λE-A| =
| λ 1 -1|
| 1 λ -1|
|-1 -1 λ|
= λ^3 + 2 - 3λ
= (λ+2)(λ-1)^2
特征值 λ = - 2， 1, 1.
对于特征值 λ = -2，λE-A =
|-2 1 -1|
| 1 -2 -1|
|-1 -1 -2|
初等变换为
| 1 -2 -1|
| 0 -3 -3|
| 0 -3 -3|
初等变换为
| 1 0 1|
| 0 1 1|
| 0 0 0|
得特征向量 (1, 1, -1)^T;
对于特征值 λ = 1，λE-A =
| 1 1 -1|
| 1 1 -1|
|-1 -1 1|
初等变换为
| 1 1 -1|
| 0 0 0|
| 0 0 0|
得特征向量 (1, -1, 0)^T, (1, 0, 1)^T;
特征向量矩阵 P =
[ 1 1 1]
[ 1 -1 0]
[-1 0 1]
则 P^(-1) =
| 1 1 1|
| 1 0 1|
|-1 -1 -2|
得 P^(-1)AP = diag(-2, 1, 1)