Question

已知直线l¹:x-1/2=y+3/4=z-5/3与直线x/5=y-2/-1=z+1/2之间的距离与

Answer 1

直线L₁  (x-1)/2=(y+3)/4=(z-5)/3过点M(1，-3，5）；方向数为{2，4，3}；

直线L₂  x/5=(y-2)/(-1)=(z+1)/2过点N(0，2，-1)；方向数为{5，-1，2}；

过点M作直线L₃∥L₂；那么L₃的方程为：(x-1)/5=(y+3)/(-1)=(z-5)/2;

直线L₁与直线L₃相交于M，因此这两条相交直线所确定的平面π必平行于直线L₂；

然后再在L₂上任找一点，求出这一点到平面π的距离。这个距离就是两条异面直线

L₁与L₂的距离。

设过M的平面π的方程为：A(x-1)+B(y+3)+C(z-5)=0.............①

直线L₁的参数方程为：x=2t+1；y=4t-3；z=3t+5；取t=1，则x=3，y=1，z=8;

即点(3，1，8)在直线L₁上，当然也在平面π上，因此代入①得等式：

2A+4B+3C=0...........②

直线L₃的参数方程为：x=5m+1；y=-m-3；z=2m+5；取m=1，得x=6，y=-4，z=7；

即点(6，-4，7)在L₃上，当然也在平面π上，代入①又得等式：

5A-B+2C=0..............③

①②③是关于A、B、C的齐次线性方程组，其有非零解的充要条件是：

展开此行列式，即得平面π的方程为：x+y-2z+12=0

L₂上的点N(0，2，-1)到平面π的距离：

d=∣1×0+1×2-12×(-1)∣/√(1²+1²+2²)=14/√6=(7/3)√6就是直线L₁到L₂的距离。

追问

x-1 y+3 z-5
2 4 3 ＝0
5 -1 2