偏导数求极值问题
当绕边b旋转时，
V＝（π／3）bc＾2（sinA）＾2
＝（π／3）bc＾2［1－（cosA）＾2］
＝（π／3）bc＾2［1－（b＾2＋c＾2－a＾2）＾2／（4b＾2c＾2）］
＝（π／3）［4b＾2c＾2－（b＾2＋c＾2－a＾2）＾2］／（4b）
＝（π／3）×2p（2p－2a）（2p－2b）（2p－2c）／（4b）
＝（4π／3）p（p－a）（p－b）（p－c）／b。
求满足条件a＋b＋c＝2p下的极值，建立拉格朗日函数F＝（4π／3）p（p－a）（p－b）（p－c）／b＋λ（a＋b＋c－2p）F＇＝（－4π／3）p（p－b）（p－c）／b＋λ＝0，
①F＇＝（－4π／3）p（p－a）（p－b）／b＋λ＝0，
②F＇＝（4π／3）p（p－a）（p－c）（－p／b＾2）＋λ＝0
③F＇＝a＋b＋c－2p＝0
④比较①，②，得c＝a，且λ＝（4π／3）p（p－a）（p－b）／b，
将c＝a代入④，得b＝2（p－a），将λ，b代入③，整理得，4a＾2－7ap＋3p＾2＝0，解得a＝3p／4，
或a＝p（组不成三角形，舍去），则a＝c＝3p／4，b＝p／2，V＝（4π／3）p（p－a）（p－b）（p－c）／b＝πp＾3／12。
结论：当作为旋转轴的边长为p／2，另两边长为3p／4时，所得旋转体的体积最大，最大体积V＝πp＾3／12。
举例验证：
设△ABC周长为24，即p＝12。
（1）按本方法a＝c＝9，b＝6，V＝（4π／3）p（p－a）（p－b）（p－c）／b＝144π。
（2）等边三角形a＝b＝c＝8，V＝（4π／3）p（p－a）（p－b）（p－c）／b＝128π，此时旋转体的体积比第一种情况小。
（3）直角三角形a＝8，b＝6，c＝10，V＝（π／3）×6＾2×8＝96π，V＝（π／3）×8＾2×6＝128π，此时旋转体的体积均比第一种情况小。
扩展资料
举例：
利用偏导数求函数z＝1－x2－y2极值：
∂z／∂x＝－2x
∂z／∂y＝－2y
令∂z／∂x＝0∂z／∂y＝0得：x＝0y＝0
∂2z／∂x2＝－2∂2z／∂x∂y＝0∂2z／∂y2＝－2
在（0，0）A＝－20
（0，0）是极大值点，极大值为z（0，0）＝1。
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2024-10-13 广告
fy(x,y)=-3y²+6y=0
解得
x1=-3 x2=1
y1=0 y2=2
x和y有四种组合 (-3,0) (-3,2) (1,0) (1,2)
A=fxx(x,y)=6x+6 B=fxy(x,y)=0 C=fyy=-6y+6
(-3,0) A=-12 B=0 C=6
AC-B²=-72<0 所以f(-3,0)不是极值
(-3,2) A=-12 B=0 C=-6
AC-B²=72>0 且A<0所以f(-3,2)是极大值
(1,0) A=12 B=0 C=6
AC-B²=72>0 且A>0所以f(1,0)是极小值
(1,2) A=12 B=0 C=-6
AC-B²=-72<0 且A>0所以f(1,2)不是极值
综上所述
所以改函数极大值为f(-3,2)=31
极小值为f(1,0)=-5
二元函数f(x,y)求偏导数，对x求偏导数时将y看作常量，求导；对y则将x看做常量。
2，性质：连续函数，取极值（最大值或最小值）时偏导数为零。
理解：一元函数，抛物线顶点处的导数都是0；
推广到二元函数，则是对x,对y的偏导数都为0；
多元一样。
反之，偏导数为0不一定是极值点，也可能是驻点。详细情况请翻书。
注：一般求最大最小值，考虑极值，左右端点值。
