Question

求以u(x,y)=x³-3xy²为实部的解析函数fz=u(x,y)+iv(x,y)使得f(0)=0

Answer 1

偏导数符号打不出来,我暂时用d来表示了

du/dx=3x²-3y²,du/dy=-6xy
由柯西黎曼方程,dv/dx=-du/dy=6xy,dv/dy=du/dx=3x²-3y²
即要求一个函数v(x,y),使它对x求偏导以后结果为6xy,对y求偏导以后结果为3x²-3y²

将x看成常数对y积分,v(x,y)=-3∫(y²-x²)dy=-y³+3x²y+C(x),C(x)是关于x的实函数

两边对x求偏导,6xy=6xy+C'(x),∴C'(x)=0,C(x)=C(实常数)

∴v(x,y)=3x²y-y³+C
f(0)=u(0,0)+iv(0,0)=0
即0+iC=0,C=0
∴所求函数为f(x+iy)=x³-3xy²+i(3x²y-y³)