Question

如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG

DG是ABCD的高
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形
(2)若四边形DEGF的面积为4√3，求AE的长

Answer 1

证明：
（1）由AB=AD，AE⊥BD可知AE是等腰三角形ABD的高，
所以它也是等腰三角形ABD的中线。
再由F是CD的中点，可得
EF‖BC
再由AD‖BC，可得
EF‖AD ①
又因为∠C=60°
所以∠A=120°
所以∠ABD=30°
所以∠CBD=∠ABC-∠ABD = ∠C -∠ABD =60°-30°=30°
从而∠BDC=90°
再由∠AED=90°，可得
AE‖DF ②
综合①②就可证明四边形AEFD是平行四边形。
（2）
在上面的证明中，还可得到结论BC=2AD。
且也易求得梯形的高DG=（√3）AD/2
所以有
4√3=（AD+BC）•DG/2=[3AD•（√3）AD/2]/2=（3√3）AD²/4
由此可求得
AD=（4√3）/3
又因为在直角三角形ADE中，∠ADE=30°
所以AE=AD/2=（2√3）/3 完。

Answer 2

证明：（1）∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°．
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE为等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中点．
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=x，
∴AD=2x．
在Rt△DGC中∠C=60°，且DC=AD=2x，
∴DG=√3 x．
由（1）知：在平行四边形AEFD中：EF=AD=2x，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF．
∴四边形DEGF的面积= EF•DG．
∴y=½ ×2x• √3x= √3x²（x＞0）．

Answer 3

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