Question

求收敛区间内的和函数

• 你的回答被采纳后将获得：
• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励20（财富值+成长值）

Answer 1

答：2ln(1 + x/2) 和 1/(1 - x)²

主要是运用凑积分和凑导数技巧

Σ(n=0,∞) (- 1)ⁿ * xⁿ⁺¹/(2ⁿ(n + 1))
= Σ(n=0,∞) (- 1)ⁿ/2ⁿ * ∫(0,x) xⁿ dx
= ∫(0,x) Σ(n=0,∞) (- x/2)ⁿ dx
留意等比级数和Σ(n=0,∞) xⁿ = 1/(1 - x)，这里把x替换为- x/2
= ∫(0,x) 1/(1 - (- x/2)) dx
= ∫(0,x) 1/(1 + x/2) dx
= ∫(0,x) 2/(x + 2) dx
= 2ln(x + 2) |(0,x)
= 2ln(x + 2) - 2ln(2)
= 2ln((x + 2)/2)
= 2ln(1 + x/2)

Σ(n=0,∞) (n + 1)xⁿ
= Σ(n=0,∞) d/dx xⁿ⁺¹
= d/dx Σ(n=0,∞) xⁿ⁺¹
= d/dx [ x * Σ(n=0,∞) xⁿ ]
= d/dx [ x * 1/(1 - x) ]，运用导数乘法则
= 1/(1 - x) + x * - 1/(1 - x)² * (- 1)
= 1/(1 - x) + x/(1 - x)²
= 1/(1 - x)²

Answer 2

提出因子x后的级数就是e^x的展开式去掉第一项1，所以和函数是x(e^x-1)。

追问

谢谢！