Question

高等数学 定积分性质

求证明或解释

Answer 1

奇函数
f(-x)=-f(x)
let
u= -x
du =-dx
x=-a, u=a
x=a, u=-a
∫(-a->a) f(x) dx
=∫(a->-a) f(-u) (-du)
=∫(-a->a) f(-u) du
=-∫(-a->a) f(u) du
=-∫(-a->a) f(x) dx
2∫(-a->a) f(x) dx=0
∫(-a->a) f(x) dx=0

-----------------------------
偶函数
f(-x) = f(x)
let
u= a-x
du =-dx
x=-a, u=0
x=0, u=a
∫(-a->a) f(x) dx
=∫(-a->0) f(x) dx + ∫(0->a) f(x) dx
=∫(a->0) f(-u) (-du) + ∫(0->a) f(x) dx
=∫(0->a) f(-u) du + ∫(0->a) f(x) dx
=∫(0->a) f(x) dx +∫(0->a) f(x) dx
=2∫(0->a) f(x) dx