Question

高二数学的问题（数列、不等式）

第二张图划线部分不懂。

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Answer 1

解：1.因为S（n）、{a/[2（a-1）]}a（n）、n成等差数列，所以有

2{a/[2（a-1）]}a（n）=S（n）+n，
稍作整理，有：S（n）=[a/（a-1）]a（n）-n
那么 S（n-1）=[a/（a-1）]a（n-1）-（n-1）
因为a（n）=S（n）-S（n-1），将上述两式代入，可得
a（n）=[a/（a-1）]a（n）-n-[a/（a-1）]a（n-1）+（n-1）
稍作整理，可得 a（n）=a*a（n-1）+a-1
由S（n）=[a/（a-1）]a（n）-n，可得a（1）=a-1
当a=0时，a（n）=-1；当a=1时，a（n）=a（n-1），即a（n）=a（1）=a-1=0
当a≠0且a≠1时，令a（n）=Aa^n+B，代入可得 B=-1
同时，有a（1）=a-1，代入可得A=1
那么a（n）=a^n-1
2.当a=8/9时，那么a（n）=（8/9）^n-1
那么 b（n）=[a（n）+1]lg[a（n）+1]=（8/9）^n*lg[（8/9）^n]
稍作整理，可得 b（n）=lg（8/9）*n*（8/9）^n
因为lg（8/9）<0，所以b（n）<0
b（n）-b（n-1）=lg（8/9）*n*（8/9）^n-lg（8/9）*（n-1）*（8/9）^（n-1）
稍作整理，可得 b（n）-b（n-1）=lg（8/9）[n*（8/9）^n-（n-1）*（8/9）^（n-1）]
b（n）-b（n-1）=lg（8/9）*（8/9）^n[n-（n-1）*（9/8）]
b（n）-b（n-1）=lg（8/9）*（8/9）^n*[（9-n）/8]
当n<9时，b（n）<b（n-1）；
当n=9时，b（n）=b（n-1）；
当n>9时，b（n）>b（n-1）。
数列b（n）存在最小值，第8项和第9项最小。
3.当a=0时，a（n）=-1，此时，b（n）不存在；

当a=1时，a（n）=0，此时，b（n）=0，非单调递增数列。
当a≠0或a≠1时，a（n）=a^n-1，此时，b（n）=a^n*lg[a^n]
稍作整理，b（n）=n*a^n*lga
显然a>0，那么
b（n）-b（n-1）=n*a^n*lga-(n-1)*a^（n-1）*lga
b（n）-b（n-1）=lga[n*a^n-(n-1)*a^（n-1）]
b（n）-b（n-1）=lga*a^n[n-(n-1)/a]
b（n）-b（n-1）=lga*a^n*{[（a-1）n+1]/a}
当0<a<1时，lga<0，所以，（a-1）n+1<0
那么a<（n-1）/n
显然，a要小于n任何的取值，当n=1时，a<0，矛盾。
当a>1时，lga>0，所以（a-1）n+1>0
那么a>（n-1）/n
显然，a要大于右边数列的最小值，即a>[（n-1）/n]min=0
综上所述，当a>1时，b（n）是一个单调递增数列。