Question

数列√2,√(2+√2),√(2+√(2+√2))，这个数列的极限是什么？

Answer 1

极限是2，详情如图所示

Answer 2

1、先证数列递增

数列递增显而易见,也可以用第二数学归纳法证明这个数列递增

因为a1=√2<√(2+√2)=a2即a1假设当n<=k时有a(k-1)则当n=k+1时

ak=√(2+a(k-1))<√(2+ak)从而an所以数列an递增

2、再证数列有界

再用数学归纳法证明这个数列是有上界的

因为有a1=√2<2,

假设当n=k时ak<2

则当n=k+1时

a(k+1)=√(2+ak)<√(2+2)=2

从而an<2

因为an是单调有界数列,所以极限存在

3、最后求极限

设极限为A

有A=√(2+A)

解出A=2