Question

将下列二次积分化为极坐标系下的二次积分

∫0到1dx∫0到x^2f(x,y)dy

Answer 1

解：

积分区域到底是0<x<1，0<y<x²还是0<y<sinx,0<x<π？

0<x<1，0<y<x²就是y=x²，x轴，x=1围成的图形，就是0<y<1，√y<x<1

0<y<sinx，0<x<π就是y=sinx与x轴在(0,π)上围成的图形，就是0<y<1，arcsiny<x<π-arcsiny

定义积分

方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。

Answer 2

如图所示：

Answer 3