Question

分段函数求导，一定要在区间端点处用求导定义求吗？

Answer 1

如果分段函数在分段点处是连续的，则可以套用求导公式求左右导数。你给出的题目是符合这一点的，所以你的第二种方法是正确的！

如果分段函数在分段点处不连续，在分段点处的左右导数不能套用求导公式。但是如果右连续，则右导数可以套用求导公式，如果左连续，则左导数可以套用求导公式。关键就是使用导数定义的时候带入的函数值是在本分支上，还是在另外分支上。

以你的题目为例，
求x＝0处的右导数时，使用右分支sinx，sinx本身在x＝0处可导，导数是cos0＝1。sinx作为f(x)的右分支，在x＝0处连续，所以f(x)的右导数就是sinx在x＝0处的导数。
用定义求x＝0处的左导数时，带入的函数值是f(0)＝sin0＝0，虽然f(0)在x≥0的分支上，但是x＜0的分支也满足f(0)＝0，所以带入的函数值f(0)也可以看作x＜0的分支在x＝0处的值，此时用定义求导数与直接用公式求导是一样的。