Question

当x＞0时，应用单调性证明下列不等式成立: x＞ln(1+x)＞x-1/2x²

Answer 1

设f(x)=ln(1+x)-x
f'(x)=1/(x+1)-1=-x/(1+x)
当x>0时，f'(x)<0，函数为减函数
且f(0)=ln(1+0)-0=0
所以必定有当x>0,f(x)<0,
即ln(1+x)<x
同理设g(x)=ln(1+x)-x+1/2*x^2
g'(x）=1/(1+x)-1+x=x^2/(1+x)
当x>0时，g'(x)>0,函数为增函数
g(0)=0
所以，当x>0时，必有g(x)>0
即ln(x+1)>x-1/2*x^2
综合上述
必有x>ln(1+x)>x-1/2*x^2成立