Question

设 f (x) 在 [0,1] 上连续 ∫f(x)dx=A积分上下限为0，1

设 f (x) 在 [0,1] 上连续 ∫f(x)dx=A积分上下限为0，1求∫dx∫f(x)f(y)dy,上下限依次为0，1，x,1,

Answer 1

解析如下：

I = ∫<0, 1>f(x)dx∫<x, 1>f(y)dy

= ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, 1>f(y)dy - ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, x>f(y)dy

= A^2 - ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, x>f(y)dy（后者交换积分次序 ）

= A^2 - ∫<0, 1>f(y)dy∫<y, 1>f(x)dx

（定积分与积分变量无关，将x换为y， 将y换为x）

I = A^2 - ∫<0, 1>f(x)dx∫<x, 1>f(y)dy = A^2 - I,

得 I = (1/2)A^2。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。

Answer 2

I = ∫<0, 1>f(x)dx∫<x, 1>f(y)dy
= ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, 1>f(y)dy - ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, x>f(y)dy
= A^2 - ∫<0, 1>f(x)dx∫<0, x>f(y)dy（后者交换积分次序 ）
= A^2 - ∫<0, 1>f(y)dy∫<y, 1>f(x)dx
（定积分与积分变量无关，将x换为y， 将y换为x）
I = A^2 - ∫<0, 1>f(x)dx∫<x, 1>f(y)dy = A^2 - I,
得 I = (1/2)A^2

Answer 3

作趋于0《x《1,
0《y《1,
则被积函数f(x)f(y)关于y=x对称，积分区域关于y=x对称，于是：
∫dx∫f(x)f(y)dy=(1/2)∫(0,1)f(x)dx∫(0,1)f(y)dy=(1/2)a^2

Answer 4

问题是什么？

追问

求∫dx∫f(x)f(y)dy,