Question

高数极限问题

题目如图一，正确答案我能看得懂，但我想知道为什么图二错了。

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Answer 1

这里用洛必达是不可以的。我先举个例子吧，很直观。

你会发现，lnx在lnx/x里面是没有作用的，由于分母太大把这个式子逼成了0。但是一旦放到第二类重要极限里，这个lnx作用就非常大。
为什么这样呢？其实你洛必达后的式子和原式子是不相等的，差了一个无穷小量。而任意一个无穷小量在第二类重要极限的式子里可以产生很大的变化。大概就是这样。

追问

Emm……但是我心里想的不是用洛必达，我是把上面减f(0)=0，下面减0，就是求导公示，这个跟洛必达是一个意思吗？

追答

是一个意思的。这个导数严格上来说不是在x=0的导数，而是在x趋于0的导数。这与在x=0处的倒是差一个无穷小量。其实洛必达法则不就是根据柯西中值定理推的吗，也是类似于这个求导公式

其实关键问题就是无论如何会差一个无穷小量。你换成导数你也不能说就是在x=0处导数，而是x趋于0的导数。这个无穷小量一般计算只要导数连续就可以扔掉，但是放到第二类重要极限中这个无穷小量被放大了。你应该知道(sinx-tanx)/x三次方这道题目吧。一个道理