Question

一道高中数学选择题。

12.已知f（x）=e^x，g（x）=mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn的最大值为（ ）
A.e/2 B.e³/3 C.2e D.2e²

需要详细的解题过程。

Answer 1

取x=0，可以得到n≤1，而当x趋向负无穷时，f（x）趋向0，为保证不等式成立，必有m≥0。于是，mn最大时，二者必为正数。
常规解法：构建h（x）=f（x）-g(x),二阶求导，可知n=m-mlnm,将mn表示为关于m的函数，令导数为0求极值，最后得到mn=e/2,选A.
快速解法：取x=1，得到

解得mn≤e^2/4,只有A选项满足，故选A.