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高数，二重积分，求解

高数，二重积分，求解例73 怎么算出最后一步的

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Answer 1

分享一种解法。①“——”上的部分，应用“凑”法可得，原式=(-1/2)∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx+(-1/2)∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy=-∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx。
②∵e^(-2x²)=e^[-x²/(1/2)]，视“X~N(μ,δ²)”的随机变量(其中μ=0，2δ²=1/2，利用其密度函数的性质，可得∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx=δ√(2π)=(1/2)√(2π)。
∴原式=-(1/2)√(2π)=-√(π/2)。
【另外，亦可令I=∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx=∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy。I²=∫(-∞,∞)e^(-2x²)dx∫(-∞,∞)e^(-2y²)dy。转化成二重积分，再应用极坐标变换求解】供参考。