Question

复变函数请问f(z)=zIm(z)在何处可导？何处解析？

Answer 1

laurent级数的定义：如果一个函数f(z)在z 0的某个非中心环场（即r1<|z-z0|lt;r2）处处解析，那么在这个最内层环场，f(z)可以唯一地表示为f(z)=cn(z-z 0)^n(n从-到+)，这个级数在r1<被称为f(z)；|z-z0|<r2的laurent系列。（需要注意的是：z 0域|z-z 0|<中的f(z)关于r1的解析度是未知的。）泰勒级数的定义：如果f(z)在域|z-z 0|<r1处处解析，则在r1上|z-z 0|lt;，f(z)可以唯一表示为f(z)=a(z-z 0)^n(n从0到+)，这个级数在|z-z 0|<中称为f(z)；泰勒系列的r1。从两者的定义来看：f(z)写为laurent级数的环区域，延伸到泰勒级数的区域在圆形区域内。因此，f(z)的扩张可以根据标题所要求的f(z)的扩张区域来判断。同样值得注意的是，如果f(z)在圆形区域内扩展为laurent级数，并扩展为在圆形区域内的泰勒级数，如果这两个区域有共同的部分，然后知道基于幂级数的扩张的唯一性。此时laurent级数的表达式相当于泰勒级数的表达式。如果f(z)是实函数，则当f(z)是常数函数时，也可以展开为laurent级数。分析如下：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)如果f(z)是实函数，v(x,y)0 dvYou/dx=0,dv/dy=0在某个环区域内，当且仅当u(x,y)=c(c是实常数)，Cauchy Riemann处处成立，即f(z)在环区域内处处解析。所以，f(z)=c可以在环形区展开为laurent级数。你好，我很高兴为你解答希望帮助你的问题，如果这个问题不理解欢迎你来学习进步！

Answer 2

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=zy=(x+iy)*y=xy+iy^2，
所以u=xy,v=y^2；
四个偏导数ux=y,uy=x,vx=0,vy2y.
根据柯西-黎曼方程，应有
ux=y=vy=2y即y=0；
uy=x=-vx=0即x=0；
所以函数f只在z=0处可导。所以不存在任何一个开集，使得f在其中可导，所以f处处不解析。