Question

用三角换元法求函数值域

如图，为什么把根号(1-x^2)换成sina可以 换成cosa有问题？我算出来的的是[-1,根号2]，正确答案却是[-根号2,1]。我有哪里算错了吗？

Answer 1

答：见下图，这里的公式用错了。应该是y=√2sin(π/4-θ)=-√2sin(θ-π/4)=√2cos(π/4+θ)；见红框内的等式。

Answer 2

按照你的思路：
y = cosθ - sinθ
= √2 * (1/√2 * cosθ - 1/√2 * sinθ)
= √2 * [sin(π/4)*cosθ - cos(π/4)*sinθ]
= √2 * sin(π/4 - θ)
= -√2 * sin(θ - π/4)
然后就知道你自己错在什么地方了！

追问

不能直接用辅助角公式吗？

追答

你可以试试看设 x = sinθ, θ∈[-π/2, π/2]。那么：
y = sinθ - cosθ
= √2 * sin(θ - π/4)
因为 -3π/4 ≤ θ - π/4 ≤ π/4，所以，当 θ - π/4 = -π/2，y 有最小值 y = -√2；而 当 θ-π/4 = π/4 时 y 有最大值 1。

一般情况下，使用 正弦函数 sinθ 要比 余弦函数要方便。