用三角换元法求函数值域

如图,为什么把根号(1-x^2)换成sina可以换成cosa有问题?我算出来的的是[-1,根号2],正确答案却是[-根号2,1]。我有哪里算错了吗?... 如图,为什么把根号(1-x^2)换成sina可以 换成cosa有问题?我算出来的的是[-1,根号2],正确答案却是[-根号2,1]。我有哪里算错了吗? 展开
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霓屠Cn
2020-02-03 · 知道合伙人教育行家
霓屠Cn
知道合伙人教育行家
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答:见下图,这里的公式用错了。应该是y=√2sin(π/4-θ)=-√2sin(θ-π/4)=√2cos(π/4+θ);见红框内的等式。

lu_zhao_long
2020-02-03 · TA获得超过1.3万个赞
知道大有可为答主
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按照你的思路:
y = cosθ - sinθ
= √2 * (1/√2 * cosθ - 1/√2 * sinθ)
= √2 * [sin(π/4)*cosθ - cos(π/4)*sinθ]
= √2 * sin(π/4 - θ)
= -√2 * sin(θ - π/4)
然后就知道你自己错在什么地方了!
更多追问追答
追问
不能直接用辅助角公式吗?
追答
你可以试试看设 x = sinθ, θ∈[-π/2, π/2]。那么:
y = sinθ - cosθ
= √2 * sin(θ - π/4)
因为 -3π/4 ≤ θ - π/4 ≤ π/4,所以,当 θ - π/4 = -π/2,y 有最小值 y = -√2;而 当 θ-π/4 = π/4 时 y 有最大值 1。
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