当a、b、c均为正数时， 证明（a＋b＋c）*（1/a＋1/b＋1/c）≥ 9？
2个回答
展开全部
(a＋b＋c）*（1/a＋1/b＋1/c）
=(1+a/b+a/c) + (1+b/a+b/c) + (1+c/a + c/b)
=3 + (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) （1）式
再证明 (x/y + y/x)>=2 (x, y均为正数)
因为(x-y)^2 = x*x + y*y - 2xy >=0
所以 x*x + y*y >=2xy
所以 (x*x + y*y)/xy >=2
即 (x/y + y/x) >=2
所以从 (1)式有
(1) >=3+2+2+2 =9
即(a＋b＋c）*（1/a＋1/b＋1/c） >=9
=(1+a/b+a/c) + (1+b/a+b/c) + (1+c/a + c/b)
=3 + (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) （1）式
再证明 (x/y + y/x)>=2 (x, y均为正数)
因为(x-y)^2 = x*x + y*y - 2xy >=0
所以 x*x + y*y >=2xy
所以 (x*x + y*y)/xy >=2
即 (x/y + y/x) >=2
所以从 (1)式有
(1) >=3+2+2+2 =9
即(a＋b＋c）*（1/a＋1/b＋1/c） >=9
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
展开全部
根据均值不等式a.b.c为正实数；
a+b+c≥3√abc;
1/a+1/b+1/c≥3√1/a1/b1/c=3√1/abc;
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥3√abc*3√1/abc=9
a+b+c≥3√abc;
1/a+1/b+1/c≥3√1/a1/b1/c=3√1/abc;
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥3√abc*3√1/abc=9
本回答被提问者采纳
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
