Question

求解 这个级数怎么求和

Answer 1

这个可以用参数积分的方法求出来。
设 F(x)=sum C_{k+i}^i x^i=sum (k+i)! /(k! i!) x^i, i 从0到无穷，|x|<1。
则对 F(x)积分一次得F_1= sum (k+i)!/[k! (i+1)!] x^{i+1}, (这里我们取最简单的那个原函数，后面的情况类似) 以此类推
对 F 积分 k 次得到
F_k=sum (k+i)!/[k! (i+k)!] x^{i+k}=sum x^{i+k}/k! =x^k/k! sum x^{i}=x^k/[k! (1-x)] .
由于 (x^k-1)/(1-x)=-(x^{k-1}+x^{k-2}+...+x+1)，
F_k=-(x^{k-1}+x^{k-2}+...+x+1)/k!+1/[K! (1-x)], 再对 F_k（x）求 k 次导数, 前面的多项式项消失了，只剩下后面那一项的 k 阶导数。
所以 F(x)=(F_k 求 k 次导）=1/(1-x)^{-(k+1)} 。

Answer 2

是不是漏了条件？比如k与i的关系等。

追问

k可以看作一个固定的数
我只知道最后的结果是（1-p/2）的（-k-1）次方

追答

这样的话，借用“负二项分布”的性质求解。【用“C(i+r-1,i)”表示“一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第i+r次试验出现第r次”的组合数，i=0,1,2，……，∞】
设事件X出现的概率为m，根据“负二项分布”的概率函数为，P(X=i)=C(i+r-1,i)(m^i)(1-m)^r。
而，C(i+r-1,i)=[(-1)^i]C(-r,i)，∴∑P(X=i)=∑[(-1)^i]C(-r,i)(m^i)(1-m)^r=[(1-m)^r]∑C(-r,i)(-m)^i)=1。
令m=p/2，k=r-1，∑C(k+i,i)(p/2)^i=1/(1-p/2)^(k+1)。其中，0<p/2<1。
供参考。