Question

求微分方程dy/dx=1/(x+y)的通解

Answer 1

dy/dx=1/(x+y)

dx/dy=x+y

x'-x=y

x=e^-∫-dy·[∫e^(∫-dy)·ydy+C]

=e^y·[∫(e^-y)·ydy+C]

=e^y·[-∫yd(e^-y)+C]

=e^y·[-y·e^-y+∫e^-ydy+C]

=e^y·[(-y-1)e^-y+C]

=Ce^y-y-1

扩展资料：

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。

当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。牛顿本人已经解决了二体问题：

在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

Answer 2

变形为一阶线性方程dx/dy=x+y即可

Answer 3

令x+y=u，
则y=u-x
dy/dx=du/dx -1
代入原方程得
du/dx -1=1/u
即du/dx=(u+1)/u
udu/(u+1)=dx
[1-1/(u+1)]du=dx
u-ln|u+1|=x+C
x+y-ln|x+y+1|=x+C
y-ln|x+y+1|=C

Answer 4

整理得ydy/(1-y²)=xdx
积分,∫ydy/(1-y²)=∫xdx
-1/2*ln|1-y²|=x²/2+C
ln|1-y²|=-x²+C

1-y²=Ce^(-x²)
y²=1-Ce^(-x²)为通解

Answer 5

令u=x-3,v=y+2,那么x=u+3,y=v-2,dy/dx=d(v-2)/d(u+3)=dv/du
dv/du=2(((v-2)+2)/((u+3)+(v-2)-1))^2=2(v/(u+v))^2
du/dv=(1/2)*(u/v + 1)^2
令z=u/v,u=zv,u'=z+z'v
z+z'v=(1/2)*(z+1)^2
1/(z^2+z+1)dz=(1/2v)dv
(2/√3)/{[(2z/√3)+(1/√3)]^2+1} d[(2z/√3)+(1/√3)]=(1/2v)dv
(2/√3)arctan[(2z/√3)+(1/√3)]=(ln|v|)/2+C
(2/√3)arctan[(2u/v√3)+(1/√3)]=(ln|v|)/2+C
(2/√3)arctan[(2(x-3)/√3(y+2))+(1/√3)]=(ln|y+2|)/2+C