Question

16题怎么做，高数题？

Answer 1

这里我给一个更一般化的结论的证明
若f''(x)>0，则对于任意t1,t2∈[a,b]和任意k∈[0,1]，有
f(kt1+(1-k)t2)≤kf(t1)+(1-k)f(t2)
证明
若t1=t2，显然不等式的等号成立
若k=0或1，显然不等式的等号成立
所以我们只需要考虑t1≠t2且k∈(0,1)
不妨设t1<t2
因为f(x)在[t1,kt1+(1-k)t2]上连续，在(t1,kt1+(1-k)t2)上可导
所以存在ξ1∈(t1,kt1+(1-k)t2)使得
f'(ξ1)
=[f(kt1+(1-k)t2)-f(t1)]/[kt1+(1-k)t2-t1]
=[f(kt1+(1-k)t2)-f(t1)]/[(1-k)(t1-t2)]
同理
存在ξ2∈(kt1+(1-k)t2,t2)使得
f'(ξ2)
=[f(t2)-f(kt1+(1-k)t2)]/[t2-kt1-(1-k)t2]
=[f(t2)-f(kt1+(1-k)t2]/[k(t1-t2)]
因为f''(x)>0
所以f'(ξ2)>f'(ξ1)
也就是
[f(t2)-f(kt1+(1-k)t2]/[k(t1-t2)]>[f(kt1+(1-k)t2)-f(t1)]/[(1-k)(t1-t2)]
整理得
f(kt1+(1-k)t2)<kf(t1)+(1-k)f(t2)
综上所述命题得证
你的题目就是k=1/3的时候

Answer 2

根据下凸函数的定义去写

追问

能写一下吗

追答

一句话就结束了，个人认为这道题还要写一部分的对下凸函数定义的证明。

能力有限

追问

中间易得的部分应该要证明吧，是用泰勒公式证吗

追答

不是用泰勒公式，其实下凸函数的定义是根据图像关系证明。

下图更清楚些，一个简陋的证明。
如果满意请采纳。