Question

一道高等数学格林公式问题

见下图

Answer 1

令D为边界曲线L围成的区域，则D={(x,y)|0<=y<=√(2x-x^2)}

根据格林公式，
原式=∫∫(D) [e^x*cosy+√(x^2+y^2)+x^2/√(x^2+y^2)-e^x*cosy+√(x^2+y^2)+y^2/√(x^2+y^2)]dxdy
=∫∫(D) 3√(x^2+y^2)dxdy
令x=pcosk，y=psink，其中0<=p<=2cosk，0<=k<=π/2
原式=∫(0,π/2)dk*∫(0,2cosk) 3p^2dp
=∫(0,π/2)dk*p^3|(0,2cosk)
=∫(0,π/2) 8cos^3kdk
=8∫(0,π/2) (1-sin^2k)d(sink)
=8[sink-(1/3)*sin^3k]|(0,π/2)
=16/3

Answer 2

该二重积分的计算可以直接把常数b-a提到积分号外，然后∫∫Dd♂=D的面积。如果定限计算，∫∫Dd♂=∫dt∫rdr。另，∫…=∫…，其中y=0，dy=0。

Answer 3

令P=e^x siny -y√(x²+y²)，Q=e^x cosy+x√(x²+y²)
P'y=e^x cosy-√(x²+y²) - y²/√(x²+y²)；
Q'x=e^x cosy+√(x²+y²)+x²/√(x²+y²),
则Q'x-P'y=3√(x²+y²)
设x=r cosβ，y=r sinβ
则0≤β≤π/2，
y≤√(2x-x²)即x²+y²≤2x，故r²≤2rcosβ，r≤2cosβ
由格林公式，
原式=∫∫(D)(Q'x-P'y)dxdy
=3∫∫(D)√(x²+y²)dxdy
=∫[0,π/2]dβ∫[0,2cosβ]r²dr
=∫[0,π/2]【r^3/3|[0,2cosβ]】dβ
=8/3 ∫[0,π/2](cosβ)^3 dβ
=8/3 ∫[0,π/2](1-sin²β) d(sinβ)
=8/3 [sinβ - (sinβ)^3/3]|[0,π/2]
=8/3 ×(1-1/3)
=16/9