Question

高数二重积分摆线

第十四题，求教积分限是怎么从2πa变到2π的呀？





Answer 1

x=a(t-sint)
y=a(1-cost)
dx=a(1-cost) dt
y²(x) dx=a²(1-cost)² a(1-cost) dt
=a³(1-cost)³dt
当t∈(0,2π)时，x∈(0,2πa)，反之亦然
∫『0,2πa』y²(x) dx
=∫『0,2π』a³(1-cost)³dt
=8a³∫『0,2π』(sin(t/2))^6 dt
=16a³∫『0,2π』(sin(t/2))^6 d(t/2)
=16a³∫『0,π』(sin u)^6 du
这样就可以了

追问

感谢帮我打了遍答案。。还错了。。但是没得其他靠谱答案的了，就你吧

没注意看。。虽然错了但是逻辑对我很有帮助，多谢

Answer 2

一句话，因为0-2πa为x的取值范围，0-2π为t的取值范围，明白？如果对t的取值范围不明白，你就想这个摆线是在x轴的圆然后滚了一圈，形成的，那么滚一圈t就是2π