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中智咨询
2024-08-28 广告
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x^2+y^2 ≤ 2x 极坐标即为 r ≤ 2cost, x^2+y^2 ≤ 1 极坐标即为 r ≤ 1,
联立解 r = 2cost 与 r = 1得 t = π/3.
积分域 D 为二者公共部分，即两弓形之和, 且关于 x 轴对称，则
I = ∫∫<D>√(x^2+y^2)dxdy
= 2[∫<0, π/3>dt∫<0, 1> r·rdr + ∫<π/3, π/2>dt∫<0, 2cost> r·rdr]
= (2π/3)(1/3) + (2/3)∫<π/3, π/2>8(cost)^3dt
= 2π/9 + (16/3)∫<π/3, π/2>[1-(sint)^2]dsint
= 2π/9 + (16/3)[sint - (1/3)(sint)^3]<π/3, π/2>
= 2π/9 + (16/3)[2/3 - √3/2 + (1/3)(3/4)(√3/2)]
= 2π/9 + (16/3)[2/3 - √3/2 + (1/3)(3/4)(√3/2)]
= 2(π+16)/9 - 2√3
联立解 r = 2cost 与 r = 1得 t = π/3.
积分域 D 为二者公共部分，即两弓形之和, 且关于 x 轴对称，则
I = ∫∫<D>√(x^2+y^2)dxdy
= 2[∫<0, π/3>dt∫<0, 1> r·rdr + ∫<π/3, π/2>dt∫<0, 2cost> r·rdr]
= (2π/3)(1/3) + (2/3)∫<π/3, π/2>8(cost)^3dt
= 2π/9 + (16/3)∫<π/3, π/2>[1-(sint)^2]dsint
= 2π/9 + (16/3)[sint - (1/3)(sint)^3]<π/3, π/2>
= 2π/9 + (16/3)[2/3 - √3/2 + (1/3)(3/4)(√3/2)]
= 2π/9 + (16/3)[2/3 - √3/2 + (1/3)(3/4)(√3/2)]
= 2(π+16)/9 - 2√3
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