Question

关于定积分问题

假如一个定积分，上限是9π/2，下限是π/2，那么，我可否把上下限写成上限是2π，下限是-2π呢？

Answer 1

郭敦顒回答：一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任一原函数在区间[a，b]上的增量。举例从感性认识上来理解这问题，对初学者易于接受些。定积分∫[a，b]F′（x）dx=∫[a，b] f（x）dx，f（x）是导函数，F（x）是导函数的原函数，F′（x）= f（x），如f（x）=2x。则F（x）= x2+C，当C=5时，F（x）= x2+5是导函数f（x）的一个原函数。 F（x）= x2+5中x=a是初始条件，那么原函数F（x）= x2+5的初值是 F（x）=F（a）= a2+5，当x=a=3时，F（x）= F（a）= 32+5=14；而F（x）= x2+5中x=b是终结条件，那么原函数F（x）= x2+5的终值是， F（x）= F（b）=b2+5，当x=b=4时，F（x）= F（b）=42+5=21。原函数由初值到终值其增量△F（x）= F（b）－F（a） =（b2+C）－（a2+C）=（b2+5）－（a2+5）=21－14=7 = b2－a2 =16－9=7 常数C为任何值在运算中都是要消去的。定积分∫[a，b]F′（x）dx=∫[a，b] f（x）dx=∫[a，b] 2xdx =x2|[a，b] =b2－a2。 a=3，b=4时， ∫[3，4] 2xdx =x2|[3，4] =16－9=7 以上就证明和从实例上说明了“一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任一原函数在区间[a，b]上的增量。”