Question

∫tsin^2 t的积分答案是怎么推出等于π／2 ∫sin^2 t的

Answer 1

如图，用换元和sin的周期对称性做的。

如图，如有疑问或不明白请追问哦！

Answer 2

第一步，利用二倍角公式化简
(sint)^2=(1-cos2t)/2=1/2-cos2t/2
第二步，利用分段积分求在[a,b]的积分
1、假如a<x<b，在[a,b]上的积分等于在[a,x]上的积分与在[x,b]上的积分和。
2、令x=π/2，1/2dt在[0,π]上的积分等于在[0,π/2]上积分的2倍。
第三步，利用cos2t的周期性及对称行
1、cos2t的最小正周期为π，在[0,π]上为一个完整的图形，有最大值及最小值。
2、cos2t在x=π/2处对称。
3、综上所述，cos2tdt在[0,π]上的积分等于在[0,π/2]上积分的2倍。

Answer 3

解：先求∫(0,x²)√(1+t²)dt和∫(x,2)t²xos(2t)dt的不定积分(∫(a,b)表示从a到b积分)。
设t=tanα,则dt=sec²αdα,sinα=√[t/(1+t²)],cosα=1/√(1+t²)
∴不定积分∫√(1+t²)dt=∫sec³αdα
=∫d(sinα)/(1-sin²α)²
=(1/4)∫[1/(1+sinα)+1/(1+sinα)²+1/(1-sinα)+1/(1-sinα)²]d(sinα)
=(1/4)[ln(1+sinα)-1/(1+sinα)-ln(1-sinα)-1/(1-sinα)]+C (C是积分常数)
=(1/4)[ln|(1+sinα)/(1-sinα)|-2/cos²α]+C
=(1/2)[ln|(1+sinα)/cosα|-1/cos²α]+C
=(1/2)[ln|√(1+t²)+√t|-t²-1]+C;
∴不定积分∫t²xos(2t)dt=(t²/2)sin(2t)-∫tsin(2t)dt (应用分部积分)
=(t²/2)sin(2t)+(t/2)cos(2t)-(1/2)∫cos(2t)dt (应用分部积分)
=(t²/2)sin(2t)+(t/2)cos(2t)-(1/4)sin(2t)+C (C是积分常数)
故∫(0,x²)√(1+t²)dt=(1/2)[ln|√(1+t²)+√t|-t²-1]|(0,x²)
={ln[√(1+x^4)+x]-x^4}/2;
∫(x,2)t²xos(2t)dt=[(t²/2)sin(2t)+(t/2)cos(2t)-(1/4)sin(2t)]|(x,2)
=(7/4)sin4+cos4-(1/2)x²sin(2x)-(1/2)xcos(2x)+(2x)/4.