Question

定积分的计算：最后一步1-sint的四次方怎么算的？书上的方法不太懂，能否讲一下呀？

Answer 1

方法一：运用倍角公式：

(sint)^4。

=(sin²t)²。

=((1-cos2t)/2)²。

=1/4-1/2*cos2t+1/4*cos²2t。

=1/4-1/2*cos2t+1/8*(cos4t+1)。

=3/8-1/2*cos2t+1/8*cos4t。

所以：

∫(sint)^4 dt （积分范围0→π/2）。

=∫(3/8-1/2*cos2t+1/8*cos4t)dt（积分范围0→π/2）。

=3t/8-1/4*sin2t+1/32*sin4t（积分范围0→π/2）。

=3π/16。

方法二：直接利用公式：

∫(sint)^4 dt （积分范围0→π/2）。

=3π/16。

因此：

2∫[1-(sint)^4] dt （积分范围0→π/2）。

=2t-2∫(sint)^4 dt （积分范围0→π/2）。

=π-3π/8

=5π/8。

Answer 2

方法一：运用倍角公式

(sint)^4

=(sin²t)²

=((1-cos2t)/2)²

=1/4-1/2*cos2t+1/4*cos²2t

=1/4-1/2*cos2t+1/8*(cos4t+1)

=3/8-1/2*cos2t+1/8*cos4t

所以

∫(sint)^4 dt （积分范围0→π/2）

=∫(3/8-1/2*cos2t+1/8*cos4t)dt（积分范围0→π/2）

=3t/8-1/4*sin2t+1/32*sin4t（积分范围0→π/2）

=3π/16

方法二：直接利用公式

∫(sint)^4 dt （积分范围0→π/2）

=3π/16

-------------------------------------

因此

2∫[1-(sint)^4] dt （积分范围0→π/2）

=2t-2∫(sint)^4 dt （积分范围0→π/2）

=π-3π/8

=5π/8

Answer 3

书上直接用了结论

Answer 4

很简单，先算1的定积分，再用公式算(sint)^4的定积分，再相减，做完了

Answer 5

上面的方法显然不算是常规方法，谁会记得三倍角公式,而且答案也没化简。
此题，就是后面那个积分：
∫sin³xdx =∫sin²x*sinx dx =-∫sin²xdcosx=-∫（1-cos²x）dcosx=(cos³x)/3-cosx，
所以整体答案，∫(1-sin³)dx=x-∫sin³xdx=x-(cos³x)/3+cosx+C

追问

是四次方呀