Question

证明这个不等式，要求不用对数平均不等式

Answer 1

第一步，不等式左边分子分母同乘以n。
不等式可化为lnn-ln(n-1)-n/(n^2+1)>=0
不等式可化为ln(n/(n-1))-n/(n^2+1)>=0
令f(n)=ln(n/(n-1))-n/(n^2+1)
f(2)=ln2-2/5>0
第二步，研究f(n)。
f'(n)=(n-1)/n*[(n-1)-n]/(n-1)^2-
[(n^2+1)-n*2n]/(n^2+1)^2
=-1/[n(n-1)]-(1-n^2)/(n^2+1)^2
=-[(n^2+1)^2+(1-n^2)n(n-1)]/
[n(n-1)(n^2+1)^2]
=-(n^4+2n^2+1+n^2-n-n^4+n^3)/
[n(n-1)(n^2+1)^2]
=-(n^3+3n^2-n+1)/[n(n-1)(n^2+1)^2]
令g(n)=n^3+3n^2-n+1
g'(n)=3n^2+6n-1=3(n+1)^2-4
令g'(n)=0,驻点n位于(0,1)区间内，
因为n为正整数且大于等于2，所以g'(n)>0
因此g(n)为增函数，最小值g(2)=23>0
所以f'(n)<0，f(n)为减函数，当n=+∞时f(n)有最小值。
第三步，证明f(+∞)>=0
要证明f(n)=ln[n/(n-1)]-n/(n^2+1)>=0
则证明ln[n/(n-1)]>=n/(n^2+1)即可
[ (n^2+1)/n]ln[n/(n-1)]>=1
(n+1/n)ln[1+1/(n-1)]>=1
ln[1+1/(n-1)]^(n+1/n)>=1
仔细观察不等式左边，
恰好为ln(1+1/x)^x型表达式，可知当x->+∞时，表达式等于1；证明完毕。

Answer 2

化简求导单调性？ALG我都忘了咋玩了，高中生的tricks没啥大用