Question

证明函数有且仅有一个根？

Answer 1

分析：
只有一个根，就意味着与x轴只有一个交点
x>a时，f'>0，也就是说函数是单调递增的函数，所证明的范围也在x>a这个范围，所以知道是单增函数
同时区间左端f(a)已告知是<0的，所以证明等价于证明f(a-f(a)/k)>0
题目中还给了f'>k想用上显然需要跟中值定理相关的内容了

证明：
根据中值定理，存在ξ属于(a, a-f(a)/k)使得
f(a-f(a)/k)-f(a)=f'(ξ)(a-f(a)/k-a)=-f'(ξ)f(a)/k
由于ξ>a，根据已知条件
f'(ξ)>k
所以
f(a-f(a)/k)-f(a)>-kf(a)/k=-f(a)
即f(a-f(a)/k)>0
由于函数在区间上单调递增，且f(a)<0，f(a-f(a)/k)>0，所以f在区间上必有且进只有一个交点，方程f(x)=0在区间上有且只有一根

Answer 2

拉格朗日中值定理
由于x>a，f(x)导数始终存在，所以f(x)连续

根据拉格朗日中值定理，必存在：f[a-f(a)/k]-f(a)=f'(b)*[a-f(a)/k-a]=f'(b)*[-f(a)/k]
其中b在区间(a, a-f(a)/k)中
所以，f[a-f(a)/k]-f(a)=f'(b)*[-f(a)/k]>k*[-f(a)/k]=-f(a)，f[a-f(a)/k]>0
在区间[a, a-f(a)/k]上，f(a)<0，f[a-f(a)/k]>0，因此该区间至少有方程f(x)=0的一个根

假设该区间方程f(x)=0有多个不同的根，可取其中任意两个x1>x2，所以f(x1)=f(x2)=0。又根据函数单调性知：f(x1)>f(x2)，两者矛盾，所以该区间方程f(x)=0有多个不同的根的假设不成立，只有一个根