Question

已知函数f(x)=x²+ax²+bx+c曲线y=f(x)在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，

Answer 1

f'(x)=2x+2ax+b
f'(1)=2+2a+b=3,
得：2a+b=1
f(1)=1+a+b+c
切线为y=3(x-1)+1+a+b+c=3x+a+b+c-2
不经过第4象限，则有a+b+c-2>0
原点到切线距离=|a+b+c-2|/√10=√10/10,
即a+b+c-2=1,
得：a+b+c=3
x=2/3时，f(x)有极值，即f'(2/3)=4/3+4a/3+b=0,
得：4a+3b=-4
联立解得：a=3.5,
b=-6,
c=5.5
2)
f(x)=4.5x^2-6x+5.5,
开口向上，对称轴为x=3/4.5=2/3
故最小值为f(2/3)=4.5*4/9-6*2/3+5.5=3.5
最大值为f(-3)=4.5*9-6*3+5.5=28

Answer 2

解答：

解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f'（x）=3x2+2ax+b．
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．…①
当x=
2
3
时，y=f（x）有极值，则f′(
2
3
)=0，可得4a+3b+4=0…②
由①、②解得a=2，b=-4．设切线l的方程为y=3x+m
由原点到切线l的距离为
10
10
，则
|m|
32+1
=
10
10
．
解得m=±1
∵切线l不过第四象限，
∴m=1，
∴切线方程为y=3x+1，
由于l切点的横坐标为x=1，
∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，
∴c=5
∴a=2，b=-4，c=5
（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2-4x+5，
方程f（x）=g（x）可化为：2x2-4x-81nx+5=k．
设h（x）=2x2-4x-8lnx+5（x＞0），
则h′(x)=4x-
8
x
-4．
令h′（x）=0，得x=2（负值舍去）．
x
[1，2）
2
（2，e]
h'（x）
-
o
+
h（x）
↘
极小值
↗
∴h（x）在x=2处取得极小值h（2）=5-8ln2．
又h（1）=3，h（e）=2e2-4e-3，且h（e）＜h（1）．
∴h（x）的大致图象如右图：
∴由图知，当k=5-8ln2或2e2-4e-3＜k≤3时，方程f（x）=g（x）在[1，e]内有且只有一个实数根．