Question

已知不等式1/x+1/y+m/（x+y）≥0对任意的正实数x,y恒成立，则实数m的最小值为

Answer 1

解：∵对任意正实数x，y
，不等式1/x+1/y+m／（x+y）≥0恒成立。

即：对任意正实数x，y
，m≥－（1/x+1/y）×（x+y）=﹣2﹣（x／y
＋
y ／x）恒成立。

令f（x，y）=﹣2﹣（x／y
＋
y ／x）（x＞0，y＞0）

即：对任意正实数x，y
，
m
≥f（x，y）max
恒成立。

又x＞0，y＞0
∴x／y
＋
y ／x
≥
2√（x／y
＋
y ／x）=
2
（当且仅当x=y时，等号成立）

∴﹣（x／y
＋
y ／x）≤﹣2

f（x，y）=﹣2﹣（x／y
＋
y ／x）≤﹣2﹣2
=﹣4

∴f（x，y）max
=
﹣4

∴m
≥f（x，y）max
=
﹣4

∴m的最小值为﹣4