Question

请高手赐教：设由方程xy+e^xy+y=2确定隐函数y=y（x），求dy/dx x=0.

Answer 1

xy+e^y=y+1
（1）
求
d^2y/dx^2
在x=0处的值：
（1）两边分别对x求导：
y+xy'
+
e^y
y'
=
y'
y/y'+x+e^y
=
1
(2)
(2)两边对x再求导一次：
(y'y'-yy'')/y'^2+1+e^y
y'=0
y'^2-yy''+y'^2+y'^3e^y=0
-yy''+y'^3e^y=0
y''=y'^3e^y
/
y
(3)
x=0
时：e^y0=y0+1
//:
由(1)
由（2）的前一式
y0+e^y0
y'0=y'0
y0+(y0+1)y'0=y'0
y0+y0y'0=0
y'0=-1
y''(0)=-e^y0/y0
//:由（3）
x+e^y/y=1+1/y
由(1)得来
e^y0/y0=1+1/y0
y''(0)=-(1+1/y0)

Answer 2

把x=0代入原方程得
0+e^0+y=2
∴
y=1
方程两边对x求导得：
y+xy'+e^(xy)(y+xy')+y'=0
移项、整理得：
[x+xe^(xy)+1]y'=y+ye^(xy)
∴
y'=[y+ye^(xy)]/[x+xe^(xy)+1]
①
把x=0，y=1
代入①得
dy/dx|(x=0)=y'|x=0=2