Question

求一道代数证明题和答案

Answer 1

有两种方法可以证明
1)
代数推理
因为
1*2=1^2+1,
2*3=2^2+2
...
n(n+1)=n^2+n
所以左边=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
又1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
所以
左边
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
2)
数学归纳法
①当n=1时,1*2=2,1*(1+1)*(1+2)/3=2,等式成立
②设当n=m(m是正整数)时等式成立,即1*2+2*3+...+m(m+1)=m(m+1)(m+2)/3
那么当n=m+1时,
左边
=[1*2+2*3+...+m(m+1)]+(m+1)(m+2)
=m(m+1)(m+2)/3+(m+1)(m+2)
=(m+1)(m+2)(m+3)/3
等式也成立
由①②得命题得证

Answer 2

我是用的
n(n+1)=[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
也就是
1*2=(3*2*1-2*1*0)/3,
2*3=(4*3*2-3*2*1)/3....
所以原式=(3*2*1-2*1*0)/3
+
(4*3*2-3*2*1)/3
+(5*4*3-4*3*2)/3
+...+[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
中间项都可以消去
=(n+2)(n+1)n/3

Answer 3

首先要记的公式
1+2+3+...n=1/2n*(n+1)
1^2+2^2+3^2+...n^2=1/6n*(n+1)*(2n+1)
然后可以来解答了
原式可化为:
原理n*(n+1)=n^2+n
(1^2+2^2+3^2+...n^2)+(1+2+3+...n)
再按照公式
就可以了