Question

若向量b能由a1，a2，a3这三个向量线性表示且表达式唯一，证明：向量组a1，a2，a3线性无关

Answer 1

证明：设k1a1+k2a2+k3a3=b
若b=0由0向量的唯一表示，证明a1，a2，a3线性无关
若b不等于0向量，则k1，k2，k3至少一个不为0向量，不妨设为k3，
若a1,a2,a3线性相关，设存在线性关系pa1+qa2=a3(p,q不全为0）
则有(p+k1)a1+(q+k2)a2+0a3=b,又k3不等于0，则存在两种不同的表达式表示b，与题设矛盾，所以a1,a2,a3线性无关。

Answer 2

b
=
m1a1+m2a2+m3a3
若表示法唯一
设
k1a1+k2a2+k3a3
=
0
则
b
=
(k1+m1)a1+(k2+m2)a2+
(k3+m3)a3
因为b的表示法唯一
所以
ki
+
mi
=
mi
所以
ki=0
所以
a1,a2,a3
线性无关
若
a1,a2,a3
线性无关
则
r(a1,a2,a3)
=
3
=
r(a1,a2,a3,b)
所以
线性方程组
x1a1+x2a2+x3a3
=
b
有唯一解
即
表示法唯一