Question

求函数f(x)=(1-x)/(1+x)的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式

Answer 1

这个题目的意思是：把要展开的函数
f（x）=
sin
x
的各阶导数代进去。
因为
x
=
0
的导数是循环出现的，所以原公式中的奇数项都是“0”。题目中的“x”那一项，其实是原公式中的第二项“f'（0）x”
换句话说，所有原公式的奇数项都是“0”，4k+2项的系数都是正的，4k项的系数都是负的。
因为分母是从“0！”开始的，所以分母是“（2m-1）！”的那一项（即：除了余项外的最后一项），其实是原公式的第2m项，即第n项。
它是一个偶数项，那么就要区分它的正负。
如果m是个奇数，第2m属于4k+2项，系数应该是正的；
如果m是个偶数，第2m属于4k项，应该是负的。
说道这里，你应该明白了：
若m是奇数，为了取系数为正，应该是-1的偶次方，所以应该是m-1次方（当然，m+1次方等等也可以）
若m是偶数，为了取系数为负，应该是-1的奇次方，同样应该是m-1次方（当然，m+1次方等等也可以）
总结：要具体看是第几项，而不用看系数的方次的表达形式。

Answer 2

泰勒公式: 拉格朗日余项:
按(x+1)的幂展开,就是令公式中的a=-1 拉格朗日余项中,令a=-1,得到n+1阶导数中的自变量=-1+θ(x+1)