Question

求椭圆面x^2+2y^2+z^2=1上平行于平面x+2y-z=0的切面方程

Answer 1

设椭圆上点p(a,b,c)处的切平面平行于已知平面，则a^2＋2b^2＋c^2＝1.
设f(x,y,z)＝x^2＋2y^2＋z^2－1，求偏导数：
αf/αx＝2x，αf/αy＝4y，αf/αz＝2z
所以，点p的切平面的法向量是(2a,4b,2c)＝2(a,2b,c)
切平面的方程是a(x-a)＋2b(y-b)＋c(z-c)＝0，即ax＋2by＋cz＝1..........................（1）.
切平面平行于已知平面x-y+2z＝0，则(a,2b,c)//(1,-1,2)，所以a/1＝2b/(-1)＝c/2，即a＝-2b，c＝-4b，代入a^2＋2b^2＋c^2＝1中得b＝±1/√(22)
将a＝-2b，c＝-4b，b＝±1/√(22)代入（1）式，得切平面的方程是2x－2y＋4z＝±√(22)