求椭圆面x^2+2y^2+z^2=1上平行于平面x+2y-z=0的切面方程

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2019-04-19 · TA获得超过3万个赞
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设椭圆上点p(a,b,c)处的切平面平行于已知平面,则a^2+2b^2+c^2=1.
设f(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-1,求偏导数:
αf/αx=2x,αf/αy=4y,αf/αz=2z
所以,点p的切平面的法向量是(2a,4b,2c)=2(a,2b,c)
切平面的方程是a(x-a)+2b(y-b)+c(z-c)=0,即ax+2by+cz=1..........................(1).
切平面平行于已知平面x-y+2z=0,则(a,2b,c)//(1,-1,2),所以a/1=2b/(-1)=c/2,即a=-2b,c=-4b,代入a^2+2b^2+c^2=1中得b=±1/√(22)
将a=-2b,c=-4b,b=±1/√(22)代入(1)式,得切平面的方程是2x-2y+4z=±√(22)
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