Question

已知函数f(x)=log1/2 (1-kx/x-1)为奇函数 （1）求常数k的值 （2）若a>b>

Answer 1

1，用-x代x
log(1/2)
1+kx/-x-1
=
-
log(1/2)
1-kx/x-1
故(1+kx/-x-1)
*
(1-kx/x-1)
=
1，
即(kx+1)(kx-1)/x²-1
=
1
k²x²-1
=
x²-1，得k=±1
但k=1时，1-x/x-1=
-1，使得对数无意义，故舍去
k=-1
代入得f(x)
=
log(1/2)(x+1)/(x-1)，定义域为x>1或者x<-1
2，讨论其增减性：
考虑x+1/x-1部分，
用t替换x-1，则x+1
=
t+2
t+2/t
=
1
+
2/t，当x>1即t>2时，是减函数，而底数为1/2的对数函数同为减函数，
则有x↑=>x+1/x-1↓=>f(x)↑
故可知f(a)
>
f(b)
3，根据2的结论，可知x>1时，f(x)为增函数，
-(1/2)^x也是增函数
所以g(x)
也是增函数，那么只要满足
g(3)
>
0或者g(4)小于0即可
解不等式
g(3)
>
0
并
g(4)<0
g(3)
=
log(1/2)
(3+1)/(3-1)
-
(1/2)^3
+
m
=
log(1/2)2
-
1/8
+m
=
-1
-
1/8
+m
>0
m
>
9/8
g(4)
=
log(1/2)
(4+1)/(4-1)
-
(1/2)^4
+m<0
m
<
1/16
-
log(1/2)5/3