Question

设A为n阶实对称矩阵，且满足A3+A2+A=3E，证明A是正定矩阵

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

假设 λ 为A的特征值，
因为A3+A2+A=3E，所以 λ3+λ2+λ-3=0．
即　（λ3-1）+（λ2-1）+（λ-1）=0，
得
（λ-1）（λ2+2λ+3）=0．
解得，λ=1，λ＝?2±4?122＝?1±22i．
因为A为实对称矩阵，其特征只能为实数，所以：λ=1＞0．
所以A的特征值均为1，故A为正定矩阵．