Question

高数 微分方程问题？

这两个特解怎么来的？希望看一下过程

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Answer 1

（1）第一个特解，是从幂函数的导数来的，如果右边是幂函数，必有幂函数形的特解。
y''+y=x²+1

幂函数求导一次，降幂1，求导两次，降幂2.
因此，左边是最高次在y中，两边最高次数，应该相等，∴y是二次函数，并且与右边系数相同。
二次函数求导两次，幂降为0次，就是常数。
设y=x²+ax+b
y'=2x+a
y''=2
代入：
2+x²+ax+b=x²+3
对照两边系数，得：
a=0，b=1
y=x²+1
（2）第二个特解，用变常数法求解。把齐次方程通解中的常数也看成是x的函数，且结果是原方程的解。
求导，代入，解出变常数对应的函数。由于求特解，有一个就行，因此，常数可以不考虑。如果考虑常数，我们就得到原方程的通解。比齐次通解+特解更通用，可以适用于非常系数方程。

追问

对不起，有一段时间没看知道。对于第二个特解还是没明白，是把cosx代入通解吗

追答

把通解的常数，看成x的函数(变常数)，通解变成原来非齐次方程的通解，用待定函数法，解微分方程组，求出对应变常数代表的函数。回代，得到原方程的解。这是一种通用的微分方程求解方法。叫做“变常数法”。