Question

高数定积分题目，见下图。那个递推公式是怎么回事啊

Answer 1

0到PI/2上sin^n(x)的定积分，在n大于等于2的时候有递推公式。你不妨用n表示来推一下。
第一步，拆出来一个sinx写作-d(cosx)，分部积分，一次分部积分以后变成了sinx的n-2次方和cosx的平方的乘积，cosx平方写成1-sin^2(x)的形式。拆开两项，又变成了这个递推公式。
令n阶的积分值用I{n}表示的话，递推公式是，I{n}=[n/(n-1)]
I{n-2}。
最后的结果，n分为奇偶两种情况。像你这道题，前面那个n=2，后面那个n=4。分别等于小于等于n的偶数的乘积做分母，小于n的奇数的乘积做分子，最后乘以PI/2。如果n是奇数，那么分母是奇数的乘积，分子是偶数，最后不乘PI/2。
你可以自己算一下。这种式子写出来也没有什么可读性。