Question

f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f(0)=1,f(1)=2,证明f(c)=2-c

Answer 1

证明：
令F(x)=f(x)+x-2
因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,
所以F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,
又
F(0)=f(0)+0-2=1-2=-1<0
F(1)=f(1)+1-2=2+1-2=1>0
由零值定理，得
至少存在一点c∈(0,1),使得
f(c)=2-c

Answer 2

证明：
令f(x)=f(x)+x-1
因为f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,
所以f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,
又
f(0)=f(0)+0-1=-1<0
f(1)=f(1)+1-1=1>0
f(x)穿沪扁疚壮狡憋挟铂锚在[0,1]必有零点
所以存在f(c)+c-1=0即f（c）=1-c