求极限（高等数学）
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解:
原式=lim(n→∞){1+[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]/2}^{2/[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]×[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]/2×n}
令t=[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/2,则有:
原式=lim(t→0)(1+t)^(1/t×t×n)
=e^{lim(n→∞)n[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]/2}
=e^{lim(n→∞)n[e^(lna/n)-1+e^(lnb/n)-1]/2}(将a^(1/n)-1化为e^(lna/n)-1利用等价无穷小e^(lna/n)-1～lna/n)
=e^{lim(n→∞)n[lna/n+lnb/n]/2}
=e^[(lna+lnb)/2]
=√(ab)
原式=lim(n→∞){1+[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]/2}^{2/[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]×[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]/2×n}
令t=[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/2,则有:
原式=lim(t→0)(1+t)^(1/t×t×n)
=e^{lim(n→∞)n[a^(1/n)-1+b^(1/n)-1]/2}
=e^{lim(n→∞)n[e^(lna/n)-1+e^(lnb/n)-1]/2}(将a^(1/n)-1化为e^(lna/n)-1利用等价无穷小e^(lna/n)-1～lna/n)
=e^{lim(n→∞)n[lna/n+lnb/n]/2}
=e^[(lna+lnb)/2]
=√(ab)
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