Question

设函数f(x)在[a,b]上连续,且f（a）＝f（b）,证明,存在一个区间[α,β]满足β－α=（b－a）／2,且f（α

Answer 1

定义
g(x)
=
f(x)-f(x+(b-a)/2),
a<=x<=
a+(b-a)/2.
g(a)
=
f(a)-f((b+a)/2）
g((a+b)/2)=
f((b+a)/2）-
f(a)
=
-g(a)
若
g(a)=0,
则
取
α
=
a,
结论即成立。
若
g(a)不=0,
因为g连续，且在区间
[a，
a+(b-a)/2]
两个端点的
函数值
符号相异。所以区间内必存在
α
使得
g(α)=0,
取
β=
α+(b-a)/2,
结论即成立。