Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a（n+1）=1+2Sn。设bn=n/an，求证:数列{bn}的前n项和Tn＜9/4

Answer 1

已知数列{an}的前n项和为S‹n›，a1=1，a‹n+1›=1+2S‹n›。设b‹n›=n/a‹n›，求证:数列{b‹n›}的前n项和T‹n›＜9/4
解：S‹n›=(1/2)[a‹n+1›-1]，
故a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=(1/2)[a‹n+1›-1]-(1/2)[a‹n›-1]=(1/2)[a‹n+1›-a‹n›]
3a‹n›=a‹n+1›，∴a‹n+1›/a‹n›=3=常量，故{a‹n›}是一个首项为1，公比q=3的等比数列。
于是a‹n›=3ⁿ⁻¹.；故b‹n›=n/3ⁿ⁻¹。
b₁=1，b₂=2/3，b₃=3/9，b₄=4/27，b₅=5/81，........，b‹n›=n/3ⁿ⁻¹
T‹n›=1+2/3+3/9+4/27+5/81+........+n/3ⁿ⁻¹................................(1)
(1/3)T‹n›=1/3+2/9+3/27+4/81+5/243+......+n/3ⁿ......................(2)
(1)-(2)得(2/3)T‹n›=1+1/3+1/9+.....+1/3ⁿ⁻¹-n/3ⁿ=(1-1/3ⁿ)/(2/3)-n/3ⁿ=3/2-(3+2n)/(2×3ⁿ)
故T‹n›=(3/2)[3/2-(3+2n)/(2×3ⁿ)]<9/4