Question

根据数列的极限定义证明 ？

Answer 1

(2)。证明：不论预先给定的正数怎么小，由∣(3n+1)/(2n+1)-3/2∣=∣-1/2(2n+1)∣
=1/2(2n+1)<1/4n<1/n<ξ，可知存在N=[1/n]，当n≧N时恒有∣(3n+1)/(2n+1)-3/2∣<ξ，故n→∞lim[(3n+1)/(2n+1)-3/2]=3/2.
(4)。lim0.9999.......9.......=1
证明：0.9999......9=1-1/10^n，0.9999.....9...........=n→∞lim(1-1/10^n)
不论预先给定的正数怎么小,由
∣(1-1/10^n)-1∣=∣-1/10^n∣=1/10^n<ξ，得
10^n>1/ξ，n>lg(1/ξ)【0<ξ<1】，可知存在N=[lg(1/ξ)，当n≧N时，不等式
∣(1-1/10^n)-1∣<ξ恒成立，∴lim0.9999.......9.......=1。

Answer 2

格式是固定的（教材上肯定有），依样画葫芦就是。
　　1）对任意
ε
>
0，取
n
=
[1/ε]
+
1，则对任意
n
>
n，有
　　　　|
(3n+1)/(2n+1)
-
3/2
|
=
1/[2(2n+1)]
<
1/n
<
ε，
依数列极限的定义，可知
　　　　lim(n→∞)(3n+1)/(2n+1)
=
3/2。
　　2）对任意
ε
>
0，取
n
=
[a/√ε]
+
1，则对任意
n
>
n，有
　　　　|
[√(n^2+a^2)]/n
-
1
|
=
(a^2)/{n[√(n^2+a^2)
+
n]}
<
(a^2)/(n^2)
<
ε，
依数列极限的定义，可知
　　　　lim(n→∞)[√(n^2+a^2)]/n
=
1。