Question

高等数学计算曲线积分

Answer 1

由于原点在圆x^2+y^2=R^2的内部，则因P(x,y)=-y/(x^2+y^2)
,Q(x,y)=x/(x^2+y^2)在原点不连续，不能直接用Green公式。可以以原点为中心、充分小得正数a为半径作圆r,在介于L和r的有洞区域D上应用公式
∫∫(在D上)(dQ/dx-dP/dy)=∫L
-
∫r(Pdx+Qdy).又dQ/dx=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2=dP/dy
所以I=∫r
(xdy-ydx)/(x^2+y^2).写出r的参数方程x=acost,y=asint,0<=t<=2Pi
I=∫(0到2Pi)dt[a^2(cost)^2+a^2(sint)^2]/a^2=2Pi